第11回：グラフ探索（DFS・BFS）¶

前回は、つながり（グラフ）を隣接行列や隣接リストでコンピュータに覚えさせるところまで来た。でもまだ「覚えた」だけ。今日はその上を実際に歩いて、点から点へ探しに行く。

今日の問い: 前回の最後、手で探したのは「A から F へ行けるか」「最短で何本の辺か」「輪（閉路）はあるか」だった。点が 6 個なら手で追えるが、100 個になったら無理。機械的に、もれなく・むだなく、全部の点を訪ね歩く手順はどう書くか? （例：迷路の全部屋を、見落とさず・二度手間なく回りきるには?）

探し方は大きく 2 通り。奥までしらみ潰しに進む DFS と、近い順に輪を広げる BFS。順に見ていく。

DFS（深さ優先探索）とは¶

行ける限り奥へ進む。行き止まったら一歩戻って別の道。これを繰り返すと、全部の点に届く（＝しらみ潰し）。

Depth First ＝「深さ優先」＝まず深く。

アニメーションで見てみよう

可視化ツールの ⑫ グラフ探索 を開き、アルゴリズムに「深さ優先探索 DFS（スタック）」を選んで動かしてみよう。奥へ潜って、行き止まりで戻る動きを目で追える。

DFS の正体はスタック／再帰¶

戻るときの順番に注目する。「最後に来た分かれ道」を「最初に」戻る。これは 後入れ先出し（LIFO）＝スタック（第4回）そのもの。

だから DFS は再帰で素直に書ける。

「自分の隣へ潜って、戻ってきたら次の隣へ」
来た道はシステム（コールスタック）が覚えてくれる（第5回の再帰）

訪問済みマークで再訪を防ぐ¶

一度訪ねた点に印をつける。隣を見たとき、印があればそこへは進まない（素通り）。

「もう来た」を記録するたった 1 つの配列が、探索を終わらせる。

演習11-1¶

下のグラフ（無向）で、もし訪問済みマークを使わずに DFS したら何が起きるか。

graph LR
    A --- B --- C
    D --- E --- F
    A --- D
    B --- E
    C --- F

A から始め、最初の数歩を追って、起きることを一言で書け
なぜ訪問済みマークが必要かを、自分の言葉で説明せよ

BFS（幅優先探索）とは¶

開始点から近い順（辺の本数が少ない順）に広げる。まず1 本でいける点、次に2 本でいける点……と層で進む。

Breadth First ＝「幅優先」＝まず広く。

アニメーションで見てみよう

可視化ツールの ⑫ グラフ探索 で、アルゴリズムに「幅優先探索 BFS（キュー）」を選んで動かそう。開始点を中心に、波紋のように層が広がる様子が見える。

BFS の正体はキュー¶

「先に見つけた点」を「先に」処理する。これは 先入れ先出し（FIFO）＝キュー（第4回）そのもの。

見つけた点を列の後ろに並べ、列の前から取り出して隣を見る
開始点からの「層の番号（レベル）」＝そこまでの最短の辺数

演習11-2¶

演習11-1 と同じグラフ（無向）で、A から BFS する。

graph LR
    A --- B --- C
    D --- E --- F
    A --- D
    B --- E
    C --- F

各部屋への最小ステップ数（A から最短で何本の辺でたどり着くか）を全部書け
A から F へは、最短で何本の辺か

考えるヒント

開始点 A を 0 歩とする。その隣はすべて 1 歩、さらにその先の未訪問の隣は 2 歩……と層で数える。
BFS は近い順に広げるので、ある点に初めて着いた層が、そのままその点の最短ステップ数になる（本文「BFS の正体はキュー」）。

DFS vs BFS¶

	DFS（深さ優先）	BFS（幅優先）
進み方	奥へ潜って戻る	近い順に層で広げる
必要な道具	スタック／再帰	キュー
余分なメモリ	経路の長さ分（細い）	層の幅分（太い）
得意なこと	行けるか・連結成分・閉路	最短の辺数（ホップ）

共通点: 訪問済みマークはどちらも必須。隣接リストで隣をたどるのも同じ。

計算量はどちらも O(n + e)¶

DFS も BFS も、各点を 1 回訪ね、各辺を（無向なら）両端から 2 回見るだけ。だから点の数 n ＋辺の数 e に比例 ＝ O(n + e)。

これは隣接リストで「隣だけ」を見るから成り立つ。隣接行列だと、各点で n マス全部を見るので O(n²)（疎なグラフでは損）。前回の「疎なら隣接リスト」が、ここで効いてくる。

探索で「分かること」¶

DFS・BFS は、ただ全部の点を訪ねるだけではない。訪ね歩く途中で、グラフの性質がいくつも分かる。

連結成分（つながりの塊）¶

探索を、まだ訪問済みでない点から呼び直す。呼び直した回数＝グラフがいくつの塊に分かれているか（連結成分の数）。

例: 部品の山がいくつの島に分かれているか／友達グループの数

連結性は、わざわざ別に調べる性質ではなく、探索の副産物として出てくる。

閉路検出（輪があるか）¶

DFS 中、まだ親ではない訪問済みの点へ戻る辺に出会ったら → 輪（閉路）がある証拠。

例: 探検で、別の道から印のある部屋に出てしまった＝ぐるっと回って戻れる
使い道: 作業の依存関係に堂々巡りがないか（あると進められない）

閉路も、探索しながら見つかるもの。

重みなし最短（BFS のレベル）¶

BFS のレベルは、そのまま「最短の辺数」＝ 重みなしの最短経路。

使い道: 乗り換え回数を最小に／あと何手で詰むか

ただしこれは「1 辺＝1」の世界だけ。駅ごとに所要時間が違ったら、「本数」では足りない（次回）。

演習11-3¶

下のグラフ（無向）について。まず図に描くとやりやすい。

A : B, C
B : A, C
C : A, B, D
D : C
E : F
F : E

(a) いくつの塊（連結成分）に分かれているか。確かめ方も一言（探索を何回呼び直したか）
(b) 塊の中に、同じ点を 2 度通らず一周して戻れる道（閉路）はあるか。あれば 1 つ書け
(c) (b) の閉路を DFS で見つけるとき、「輪がある」と分かる瞬間はどこか（どの辺を見たとき）

考えるヒント

(a) A から探索を始めて、届く点を塗っていく。塗り残しの点が出たら? そこから探索を呼び直した回数が塊の数（本文「連結成分」）。

演習11-4（路線で考える）¶

下の路線図（無向）。駅と、直通でつながる区間（辺）だけを書いた。

中央 : 緑, 桜
緑   : 中央, 終点
桜   : 中央, 港
港   : 桜, 浜
浜   : 港, 終点
終点 : 緑, 浜

ある人が次のアプリを作った: 探索（スタックを使う＝ DFS の動き）で、最初に見つかった行き方の区間数（辺の本数）を表示する。

(a) 中央 → 終点 で、このアプリが表示しうる区間数を全部挙げよ
- ヒント: 中央の隣（緑 と 桜）のどちらを先にたどるかで、最初に見つかる行き方が変わる
(b) 中央 → 終点 の本当の最小は何区間か。アプリは必ずそれを表示するか
(c) 必ずとは限らないなら、探索の「次に取り出す点」の選び方をどう変えれば必ず最小になるか

まとめ¶

DFS: 奥へ潜って戻る（スタック／再帰）。到達・連結成分・閉路に強い
BFS: 近い順に層で広げる（キュー）。最短の辺数が出る
どちらも訪問済みマーク必須・隣接リストで隣をたどる・O(n + e)
連結性・閉路は別の性質ではなく、探索の副産物として出てきた
第4回（スタック・キュー）・第5回（再帰）・第10回（隣接リスト）が、ここで合流する

次回予告¶

今日まで: BFS で「最短の辺数（区間数）」が出る。ただし「1 辺＝1」の世界。

でも現実は、駅ごとに所要時間が違う。

例: 演習11-4 の路線で 中央-緑 だけ 30 分、他は各 5 分なら、区間数最小の 中央-緑-終点（2 区間＝35 分）より、中央-桜-港-浜-終点（4 区間＝20 分）の方が速い
＝「本数が少ない」と「時間が短い」は別物

重みつきの最短は、どう求める? カギは「いまいちばん近い点を確定して広げる」。そして、その「いちばん近い 1 個を最速で取り出す」のが、第10回のヒープ（優先度付きキュー）。

次回：最短経路（ダイクストラ法・ベルマンフォード法）。